2015年湖北高考数学章节专题二十二

湖北2015年高考数学章节专题二十二

　　2015年湖北高考生正在努力备考中，湖北高考网整理了2015年湖北高考数学章节专题，希望对大家的复习有帮助。

　　1.抛物线的定义

　　平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离________的点的集合叫做抛物线，点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________.

　　2.抛物线的标准方程

　　(1)方程y2=±2px，x2=±2py(p>0)叫做抛物线的标准方程.

　　(2)抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________.

　　(3)抛物线y2=-2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________.

　　(4)抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标是__________，准线方程是__________，开口方向________.

　　(5)抛物线x2=-2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________.

　　一、选择题

　　1.抛物线y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是(　　)

　　A. 2aB.a C.|a| D.-a

　　2.与抛物线y2=x关于直线x-y=0对称的抛物线的焦点坐标是(　　)

　　A.(1,0) B.(，0) C.(0,0) D.(0，)

　　3.抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>)，则点M的横坐标是(　　)

　　A.a+ B.a-

　　C.a+p D.a-p

　　4.已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点P(-3，m)到焦点F的距离为5，则抛物线方程为(　　)

　　A.y2=8x B.y2=-8x

　　C.y2=4x D.y2=-4x

　　5.方程=|x-y+3|表示的曲线是(　　)

　　A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线

　　6.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)

　　A. 1B.3 C. 5D.6

　　 二、填空题

　　7.抛物线x2+12y=0的准线方程是__________.

　　8.若动点P在y=2x2+1上，则点P与点Q(0，-1)连线中点的轨迹方程是__________.

　　9.已知抛物线x2=y+1上一定点A(-1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是______________.

　　三、解答题

　　10.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.

　　11.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.

　　能力提升

　　12.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切，则p的值为(　　)

　　A. B.1 C.2 D.4

　　13.AB为抛物线y=x2上的动弦，且|AB|=a (a为常数且a≥1)，求弦AB的中点M离x轴的最近距离.

　　1.理解抛物线定义，并能判定一些有关抛物线的点的轨迹问题.

　　2.四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向;系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向.

　　3.焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2=2py通常又可以写成y=ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y=ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式.

　　§2　抛物线

　　2.1　抛物线及其标准方程

　　知识梳理

　　1.相等　焦点　准线

　　2.(2)(，0)　x=-　向右　(3)(-，0)　x=　向左　(4)(0，)　y=-　向上

　　(5)(0，-)　y=　向下

　　参考答案

　　1.B　[因为y2=ax，所以p=，即该抛物线的焦点到其准线的距离为.]

　　2.D　[y2=x关于直线x-y=0对称的

　　抛物线为x2=y，∴2p=，p=，∴焦点为.]

　　3.B　[由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x=-的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a-.]

　　4.B　[点P(-3，m)在抛物线上，焦点在x轴上，所以抛物线的标准方程可设为y2=-2px(p>0).由抛物线定义知|PF|=3+=5.

　　所以p=4，所以抛物线的标准方程是y2=-8x.]

　　5.D　[原方程变形为

　　=，它表示点M(x，y)与点F(-3,1)的距离等于点M到直线x -y+3=0的距离.根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线.]

　　6.A　[

　　如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线x=-的距离d等于点P到焦点的距离|PF|.

　　因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F的距离，则距离之和的最小值为 =.]

　　7.y=3

　　解析　抛物线x2+12y=0，即x2=-12y，故其准线方程是y=3.

　　8.y=4x2

　　9.(-∞，-3]∪[1，+∞)

　　解析　由题意知，设P(x1，x-1)，Q(x2，x-1)，

　　又A(-1,0)，PA⊥PQ，∴·=0，

　　即(-1-x1,1-x)·(x2-x1，x-x)=0，

　　也就是(-1-x1)·(x2-x1)+(1-x)·(x-x)=0.∵x1≠x2，且x1≠-1，

　　∴上式化简得x2=-x1=+(1-x1)-1，由基本不等式可得x2≥1或x2≤-3.

　　10.解　设抛物线方程为y2=-2px (p>0)，

　　则焦点F，

　　由题意，得

　　解得或

　　故所求的抛物线方程为y2=-8x，m=±2.

　　抛物线的焦点坐标为(-2,0)，准线方程为x=2.

　　11.解　方法一　设P点的坐标为(x，y)，

　　则有=|x|+1，

　　两边平方并化简得y2=2x+2|x|.

　　∴y2=即点P的轨迹方程为y2=4x (x≥0)或y=0 (x<0).

　　方法二　由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x<0时，直线y=0上的点适合条件;当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等，故点P在以F为焦点，x=-1为准线的抛物线上，其轨迹方程为y2=4x.

　　故所求动点P的轨迹方程为y2=4x (x≥0)或y=0 (x<0).

　　12.C　[方法一　由抛物线的标准方程得准线方程为x=-.

　　∵准线与圆相切，圆的方程为(x-3)2+y2=16，

　　∴3+=4，∴p=2.

　　方法二　作图可知，抛物线y2=2px (p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切于点(-1,0)，

　　所以-=-1，p=2.]

　　13.解

　　设A、M、B点的纵坐标分别为y1、y2、y3.A、M、B三点在抛物线准线上的射影分别为A′、M′、B′，如图所示.

　　由抛物线的定义，知

　　|AF|=|AA′|=y1+，

　　|BF|=|BB′|=y3+，

　　∴y1=|AF|-，y3=|BF|-.

　　又M是线段AB的中点，

　　∴y2=(y1+y3)=

　　≥×=(2a-1).

　　等号在AB过焦点F时成立，即当定长为a的弦AB过焦点F时，M点与x轴的距离最近，最近距离为(2a-1).