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2015年湖北高考数学章节专题二十二

2015-03-15| 来源:湖北自考网旗下湖北高考频道| 阅读:25027次查看高职扩招最新方案
湖北2015年高考数学章节专题二十二

  2015年湖北高考生正在努力备考中,湖北高考网整理了2015年湖北高考数学章节专题,希望对大家的复习有帮助。
 
  1.抛物线的定义
 
  平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离________的点的集合叫做抛物线,点F叫做抛物线的________,直线l叫做抛物线的________.
 
  2.抛物线的标准方程
 
  (1)方程y2=±2px,x2=±2py(p>0)叫做抛物线的标准方程.
 
  (2)抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是________,准线方程是__________,开口方向________.
 
  (3)抛物线y2=-2px(p>0)的焦点坐标是________,准线方程是__________,开口方向________.
 
  (4)抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标是__________,准线方程是__________,开口方向________.
 
  (5)抛物线x2=-2py(p>0)的焦点坐标是________,准线方程是__________,开口方向________.
 
  一、选择题
 
  1.抛物线y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是(  )
 
  A. 2aB.a C.|a| D.-a
 
  2.与抛物线y2=x关于直线x-y=0对称的抛物线的焦点坐标是(  )
 
  A.(1,0) B.(,0) C.(0,0) D.(0,)
 
  3.抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>),则点M的横坐标是(  )
 
  A.a+ B.a-
 
  C.a+p D.a-p
 
  4.已知抛物线的方程为标准方程,焦点在x轴上,其上点P(-3,m)到焦点F的距离为5,则抛物线方程为(  )
 
  A.y2=8x B.y2=-8x
 
  C.y2=4x D.y2=-4x
 
  5.方程=|x-y+3|表示的曲线是(  )
 
  A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线
 
  6.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(  )
 
  A. 1B.3 C. 5D.6
 
   二、填空题
 
  7.抛物线x2+12y=0的准线方程是__________.
 
  8.若动点P在y=2x2+1上,则点P与点Q(0,-1)连线中点的轨迹方程是__________.
 
  9.已知抛物线x2=y+1上一定点A(-1,0)和两动点P,Q,当PA⊥PQ时,点Q的横坐标的取值范围是______________.
 
  三、解答题
 
  10.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值,并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.
 
  11.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.
 
  能力提升
 
  12.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为(  )
 
  A. B.1 C.2 D.4
 
  13.AB为抛物线y=x2上的动弦,且|AB|=a (a为常数且a≥1),求弦AB的中点M离x轴的最近距离.
 
  1.理解抛物线定义,并能判定一些有关抛物线的点的轨迹问题.
 
  2.四个标准方程的区分:焦点在一次项字母对应的坐标轴上,开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时,开口方向为坐标轴的正方向;系数为负时,开口方向为坐标轴的负方向.
 
  3.焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2=2py通常又可以写成y=ax2,这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的,但需要注意的是,由方程y=ax2来求其焦点和准线时,必须先化成标准形式.
 
  §2 抛物线
 
  2.1 抛物线及其标准方程
 
  知识梳理
 
  1.相等 焦点 准线
 
  2.(2)(,0) x=- 向右 (3)(-,0) x= 向左 (4)(0,) y=- 向上
 
  (5)(0,-) y= 向下
 
  参考答案
 
  1.B [因为y2=ax,所以p=,即该抛物线的焦点到其准线的距离为.]
 
  2.D [y2=x关于直线x-y=0对称的
 
  抛物线为x2=y,∴2p=,p=,∴焦点为.]
 
  3.B [由抛物线的定义知:点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x=-的距离,所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a-.]
 
  4.B [点P(-3,m)在抛物线上,焦点在x轴上,所以抛物线的标准方程可设为y2=-2px(p>0).由抛物线定义知|PF|=3+=5.
 
  所以p=4,所以抛物线的标准方程是y2=-8x.]
 
  5.D [原方程变形为
 
  =,它表示点M(x,y)与点F(-3,1)的距离等于点M到直线x -y+3=0的距离.根据抛物线的定义,知此方程表示的曲线是抛物线.]
 
  6.A [
 
  如图所示,由抛物线的定义知,点P到准线x=-的距离d等于点P到焦点的距离|PF|.
 
  因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和,其最小值为点M(0,2)到点F的距离,则距离之和的最小值为 =.]
 
  7.y=3
 
  解析 抛物线x2+12y=0,即x2=-12y,故其准线方程是y=3.
 
  8.y=4x2
 
  9.(-∞,-3]∪[1,+∞)
 
  解析 由题意知,设P(x1,x-1),Q(x2,x-1),
 
  又A(-1,0),PA⊥PQ,∴·=0,
 
  即(-1-x1,1-x)·(x2-x1,x-x)=0,
 
  也就是(-1-x1)·(x2-x1)+(1-x)·(x-x)=0.∵x1≠x2,且x1≠-1,
 
  ∴上式化简得x2=-x1=+(1-x1)-1,由基本不等式可得x2≥1或x2≤-3.
 
  10.解 设抛物线方程为y2=-2px (p>0),
 
  则焦点F,
 
  由题意,得
 
  解得或
 
  故所求的抛物线方程为y2=-8x,m=±2.
 
  抛物线的焦点坐标为(-2,0),准线方程为x=2.
 
  11.解 方法一 设P点的坐标为(x,y),
 
  则有=|x|+1,
 
  两边平方并化简得y2=2x+2|x|.
 
  ∴y2=即点P的轨迹方程为y2=4x (x≥0)或y=0 (x<0).
 
  方法二 由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,故当x<0时,直线y=0上的点适合条件;当x≥0时,原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P在以F为焦点,x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y2=4x.
 
  故所求动点P的轨迹方程为y2=4x (x≥0)或y=0 (x<0).
 
  12.C [方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为x=-.
 
  ∵准线与圆相切,圆的方程为(x-3)2+y2=16,
 
  ∴3+=4,∴p=2.
 
  方法二 作图可知,抛物线y2=2px (p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切于点(-1,0),
 
  所以-=-1,p=2.]
 
  13.解
 
  设A、M、B点的纵坐标分别为y1、y2、y3.A、M、B三点在抛物线准线上的射影分别为A′、M′、B′,如图所示.
 
  由抛物线的定义,知
 
  |AF|=|AA′|=y1+,
 
  |BF|=|BB′|=y3+,
 
  ∴y1=|AF|-,y3=|BF|-.
 
  又M是线段AB的中点,
 
  ∴y2=(y1+y3)=
 
  ≥×=(2a-1).
 
  等号在AB过焦点F时成立,即当定长为a的弦AB过焦点F时,M点与x轴的距离最近,最近距离为(2a-1).

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