2015年湖北高考数学章节专题十九

湖北2015年高考数学章节专题十九

　　2015年湖北高考生正在努力备考中，湖北高考网整理了2015年湖北高考数学章节专题，希望对大家的复习有帮助。

　　一、选择题

　　1.下列曲线中离心率为的是(　　)

　　A.-=1 B.-=1

　　C.-=1 D.-=1

　　2.双曲线-=1的渐近线方程是(　　)

　　A.y=±x B.y=±x

　　C.y=±x D.y=±x

　　3.双曲线与椭圆4x2+y2=1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的方程为(　　)

　　A.2x2-4y2=1 B.2x2-4y2=2

　　C.2y2-4x2=1 D.2y2-4x2=3

　　4.设双曲线-=1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)

　　A.y=±x B.y=±2x

　　C.y=±x D.y=±x

　　5.直线l过点(，0)且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点，则这样的直线有(　　)

　　A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

　　6.已知双曲线-=1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　)

　　A.1 B.1/2 C.2 D.3

　　 二、填空题

　　7.两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a>b，则双曲线-=1的离心率e=______.

　　8.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a=10，c-b=6，则顶点A运动的轨迹方程是________________.

　　9.与双曲线-=1有共同的渐近线，并且经过点(-3，2)的双曲线方程为__________.

　　三、解答题

　　10.根据下列条件，求双曲线的标准方程.

　　(1)经过点，且一条渐近线为4x+3y=0;

　　(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.

　　11.已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，-).

　　(1)求此双曲线的方程;

　　(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2;

　　(3)求△F1MF2的面积.

　　能力提升

　　12.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为.

　　13.F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2=60°，S△PF1F2=12，又离心率为2，求双曲线的方程.

　　1.双曲线-=1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称;其顶点为(±a，0)，实轴长为2a，虚轴长为2b;其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|≥a.

　　2.双曲线的离心率e=的取值范围是(1，+∞)，其中c2=a2+b2，且=，离心率e越大，双曲线的开口越大.可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围.

　　3.双曲线-=1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，也可记为-=0;与双曲线-=1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为-=λ (λ≠0).

　　3.2　双曲线的简单性质

　　知识梳理

　　1.

　　标准

　　方程 -=1 (a>0，b>0) -=1

　　(a>0，b>0) 范围 x≥a或x≤-a y≥a或y≤-a 对称性 关于x、y轴对称　　　　关于原点对称 顶点 (a,0)，(-a,0) (0，a)，(0，-a) 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=>1 e=>1 2.(1)中心　(2)实轴　虚轴　(3)开阔　增大

　　参考答案

　　1.B　[∵e=，∴e2==，∴=，故选B.]

　　2.A

　　3.C　[由于椭圆4x2+y2=1的焦点坐标为，

　　则双曲线的焦点坐标为，又由渐近线方程为y=x，得=，即a2=2b2，又由2=a2+b2，得a2=，b2=，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y2-4x2=1.]

　　4.C　[由题意知，2b=2,2c=2，则b=1，c=，a=;双曲线的渐近线方程为y=±x.]

　　5.C　[点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点.]

　　6.B　[||PF1|-|PF2||=2a，即3|PF2|=2a，

　　所以|PF2|=≥c-a，即2a≥3c-3a，即5a≥3c，

　　则≤.]

　　7.

　　解析　a+b=5，ab=6，解得a，b的值为2或3.

　　又a>b，∴a=3，b=2.∴c=，从而e==.

　　8.-=1(x>3)

　　解析　以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(-5,0)，C(5,0)，而|AB|-|AC|=6<10.故A点的轨迹是双曲线的右支，其方程为-=1(x>3).

　　9.-=1

　　解析　∵所求双曲线与双曲线-=1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为-=λ (λ≠0).∵点(-3,2)在双曲线上，

　　∴λ=-=.

　　∴所求双曲线的方程为-=1.

　　10.解　(1)因直线x=与渐近线4x+3y=0的交点坐标为，而3<|-5|，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为-=1，

　　由

　　解得故所求的双曲线方程为-=1.

　　(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点.依题意，它的焦点在x轴上.

　　因为PF1⊥PF2，且|OP|=6，

　　所以2c=|F1F2|=2|OP|=12，所以c=6.

　　又P与两顶点连线夹角为，

　　所以a=|OP|·tan=2，

　　所以b2=c2-a2=24.

　　故所求的双曲线方程为-=1.

　　11.(1)解　∵e=，∴可设双曲线方程为x2-y2=λ.

　　∵过点(4，-)，∴16-10=λ，即λ=6.

　　∴双曲线方程为x2-y2=6.

　　(2)证明　易知F1(-2，0)、F2(2，0)，

　　∴kMF1=，kMF2=，

　　kMF1·kMF2==-，

　　∵点(3，m)在双曲线上，

　　∴9-m2=6，m2=3，故kMF1·kMF2=-1，

　　∴MF1⊥MF2.

　　(3)解　△F1MF2的底|F1F2|=4，

　　F1F2上的高h=|m|=，

　　∴S△F1MF2=6.

　　12.

　　D　[设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y=x，

　　而kBF=-，∴·(-)=-1，

　　整理得b2=ac.

　　∴c2-a2-ac=0，两边同除以a2，得e2-e-1=0，

　　解得e=或e=(舍去)，故选D.]

　　13.解　设双曲线方程为-=1.

　　∵|F1F2|=2c，而e==2.

　　由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=c.

　　由余弦定理得

　　(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2

　　=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|(1-cos 60°).

　　∴4c2=c2+|PF1||PF2|.

　　又∵S△PF1F2=|PF1||PF2|sin 60°=12，

　　∴|PF1||PF2|=48.

　　∴3c2=48，c2=16.∴a2=4，b2=12.

　　∴所求双曲线方程为-=1.