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2018年荆楚理工学院普通专升本考试大纲:《数学分析》

整编:湖北专升本网 发表时间2018-12-19 浏览:25027次

湖北普通专升本培训班

荆楚理工学院2018年普通专升本:《数学分析》考试大纲

大纲是专升本命题的依据,因此,在此提醒广大考生:在复习的过程中一定要严格按照荆楚理工学院专升本:《数学分析》考试大纲来复习。

 

    一、课程名称数学分析

    二、适用专业: 数学与应用数学

    三、考试方法:闭卷考试

    四、考试时间:100分钟

    五、试卷结构:总分:150

    六、参考书目

    1、华东师范大学数学系编著,《数学分析》(上、下册),高等教育出版社,2010年第4

    2、刘玉琏编著,《数学分析讲义》(上、下册),高等教育出版社,20125版。

    七、考试的基本要求

    《数学分析》是数学与应用数学专业专升本入学考试中专业课考试内容,考生应理解和掌握《数学分析》中函数、极限、连续、微分学、积分学和级数的基本概念、基本理论、基本方法。应具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力,能运用所学知识正确拙推理证明,准确、简捷地计算。能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决实际问题。

    八、考试范围

    第一章  实数集与函数

    (一)考核内容

    实数及其性质,绝对值与不等式。区间与邻域,有界集与确界原理。函数概念,函数的表示法。函数的四则运算,复合函数,反函数,初等函数。具有某些特性的函数:有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。

    (二)考核知识点

    1、实数:实数的概念,实数的性质,绝对值与不等式;

    2、数集、确界原理:区间与邻域,有界集与无界集,上确界与下确界,确界原理;

    3、函数概念:函数的定义,函数的表示法(解析法、列表法、和图象法),分段函数;

    4、具有某些特征的函数:有界函数,单调函数,奇函数与偶函数,周期函数。

   (三)考核要求

    1、了解实数域及性质;

    2、掌握几种不等式及应用;

    3、熟练掌握域,上确界,下确界,确界原理;

    4、牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及某些特性(单调性、周期性、奇偶性、有界性等)。

    第二章  数列极限

    (一)考核内容

    数列。数列极限的数学定义,无穷小数列。收敛数列性质:唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算法则。子列及子列定理。数列极限存在的条件:数列极限的单调有界定理、柯西收敛准则。

    (二)考核知识点

    1、极限概念

    2、收敛数列的性质:唯一性,有界性,保号性,单调性;

    3、数列极限存在的条件:单调有界准则,迫敛性法则,柯西准则。

    (三)考核要求

    1、熟练掌握数列极限“数学”定义

    2、掌握收敛数列的若干性质 

    3、掌握数列收敛的条件(单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等)。

    第三章 函数极限

    (一)考核内容

    求函数的极限,单侧极限。函数极限的性质唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性四则运算法则。函数极限存在的条件:归结原则函数极限的单调有界定理和柯西准则两个重要极限。无穷小量及其阶的比较,无穷大量,曲线的渐近线。

    (二)考核知识点

    1、函数极限的概念,单侧极限的概念;

    2、函数极限的性质:唯一性,局部有界性,局部保号性,不等式性,迫敛性;

    3、函数极限存在的条件:归结原则(Heine定理),柯西准则;

    4、两个重要极限;

    5、无穷小量与无穷大量,阶的比较。

    (三)考核要求

    1、熟练掌握使用“数学”,“ 数学”语言,熟练叙述各类型函数极限;

    2、掌握函数极限的若干性质;

    3、掌握函数极限存在的条件。(归结原则,柯西准则,左、右极限,单调有界等);

    4、熟练应用两个重要极限;

    5、牢固掌握无穷小(大)的定义、性质、的比较。 

    第四章  函数连续性

    (一)考核内容

    函数在一点的连续性,左、右连续,间断点及其分类,区间上的连续函数。连续函数的局部性质:局部有界性、局部保号性、四则运算、复合函数的连续性,闭区间上连续函数的性质:最值定理、介值性定理、根的存在定理,反函数的连续性,一致连续与一致连续性定理。指数函数的连续性,初等函数连续性。

     (二)考核知识点

    1、函数连续的概念:一点连续的定义,区间连续的定义,单侧连续的定义,间断点及其分类;

    2、连续函数的性质:局部性质及运算,闭区间上连续函数的性质(最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性),复合函数的连续性,反函数的连续性;

    3、初等函数的连续性。

    (三)考核要求

    1、熟练掌握在点连续的定义,等价定义;

    2、掌握间断点及其类型;

    3、了解在区间上连续的定义;

    4、掌握在一点连续的性质及闭区间上连续函数的性质;

    5、了解初等函数的连续性。

    第五章  导数与微分

    (一)考核内容

     导数的定义,导函数,导数的几何意义,极值,费马定理。导数的四则运算法则,反函数的导数, 复合函数的导数,基本求导法则与公式。参变量函数的导数,隐函数的导数,初等函数的导数。高阶导数。微分概念,微分的几何意义,微分的运算法则,一阶微分形式的不变性,高阶微分,微分在近似计算中的应用。

    (二)考核知识点

    1、导数概念:导数的定义、单侧导数、导函数、导数的几何意义;

    2、求导法则:导数公式、导数的运算(四则运算)、求导法则(反函数的求导法则,复合函数的求导法则,隐函数的求导法则,参数方程的求导法则);

    3、微分:微分的定义,微分的运算法则,微分的应用;

    4、高阶导数与高阶微分。

    (三)考核要求

    1、熟练掌握导数的定义及其几何意义;

    2、牢固记住求导法则、求导公式;

    3、会求各类函数的导数(复合函数、含参变量函数、隐函数、幂指函数、高阶导数(莱布尼兹公式));

    4、掌握微分的概念,并会用微分进行近似计算;

    5、理解连续、可导、可微的关系。 

    第六章  微分中值定量、不定式极限

    (一)考核内容

    罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,单调函数。柯西中值定理。不定式极限,洛必达法则。

    (二)考核知识点

    1、中值定理:罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理;

    2、几种特殊类型的不定式极限与洛必达法则。

   (三)考核要求

    1、牢固掌握微分中值定理及应用(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理);

    2、会用洛比达法则求极限(将其他类型的不定型转化为等类型)。

    第七章  导数的应用

    (一)考核内容

    函数单调性与极值。最大值与最小值。函数的凸性与曲线的拐点。函数图象的讨论。方程的近似解。 极值的判别法;函数的单调性、凸性讨论的有关理论及结果;画函数草图的基本要素和方法。

    (二)考核知识点

    1、函数的单调性与极值;

    2、函数的凹凸性与拐点。

    (三)考核要求

    1、掌握单调与导数符号的关系,并用它证明单调,不等式、求单调区间、极值等;

    2、利用的二阶导数判定凹凸性及拐点;

    3、了解凸函数及性质;

    4、会求曲线各种类型的渐近线。      

    第八章  不定积分

    (一)考核内容

    原函数与不定积分概念,基本积分表,线性运算法则。换元积分法,分部积分法。有理函数的不定积分,三角函数有理式的不定积分,某些无理函数的不定积分。

    (二)考核知识点

    1、不定积分概念;

    2、换元积分法与分部积分法;

    3、几类可化为有理函数的积分;

    (三)考核要求

    1、掌握原函数与不定积分的概念;

    2、记住基本积分公式;

    3、熟练掌握换元法、分部积分法;

    4、了解有理函数积分步骤,并会求可化为有理函数的积分。  

    第九章  定积分

    (一)考核内容

    概念引入(曲边梯形面积与变力作功),定积分定义,定积分的几何意义。牛顿-莱布尼兹公式。可积的必要条件,可积的充要条件,可积函数类:闭区间上的连续函数、只有有限个间断点的有界函数、单调函数。定积分的基本性质,积分中值定理。变限积分与原函数的存在性,微积分学基本定理、定积分的换元积分法和分部积分法。

    (二)考核知识点

    1、定积分的概念:概念的引入、黎曼积分定义,函数可积的必要条件;

    2、可积性条件:可积的必要条件和充要条件,达布上和与达布下和,可积函数类(连续函数,只有有限个间断点的有界函数,单调函数);

    3、微积分学基本定理:可变上限积分,牛顿-莱布尼兹公式;

    4、反常积分:无穷积分收敛与发散的概念,审敛法(柯西准则,比较法,狄利克雷与阿贝尔判别法);瑕积分收敛与发散的概念,收敛判别法。

    (三)考核要求

    1、掌握定积分定义、性质;

    2、了解可积条件,可积函数类;

    3、深刻理解微积分基本定理,并会熟练应用;

    4、熟练计算定积分;

    5、掌握广义积分收敛定义及判别法,会计算广义积分。 

    第十章  定积分应用

    (一)考核内容

    微元法。平面图形的面积。由平行截面面积求体积,旋转体体积。平面曲线的弧长、曲率。旋转曲面的面积。定积分的近似计算。

    (二)考核知识点

    1、定积分的几何应用:平面图形的面积,微元法,已知截面面积函数的立体体积,旋转体的体积,平面曲线的弧长;

    (三)考核要求

    1、熟练计算各种平面图形面积;

    2、会求旋转体或已知截面面积的体积;

    3、会利用定积分求孤长。

    第十一章  多元函数极限与连续

    (一)考核内容

    平面点集概念,R2上的完备性定理,二元函数和n元函数概念。二重极限,累次极限。二元函数的连续性,复合函数的连续性。有界闭域上连续函数的性质。

    (二)考核知识点

    1、平面点集与多元函数的概念;

    2、二元函数的极限、累次极限;

    3、二元函数的连续性:二元函数的连续性概念、连续函数的局部性质及初等函数连续性。

    (三)考核要求

    1、了解平面点集的若干概念;

    2、掌握二元函数二重极限定义、性质;

    3、掌握二次极限,并掌握二重极限与二次极限的关系;

    4、掌握二元连续函数定义、性质。 

    第十二章  多元函数微分学

    (一)考核内容

    多元函数的可微性与全微分,偏导数及其几何意义,全微分存在的必要条件、充分条件,可微性的几何意义及应用。复合函数的求导法则,复合函数的全微分。方向导数与梯度。高阶偏导数,二元函数的中值定理和秦勒公式,二元函数的极值与最值。

    (二)考核知识点

    1、可微性:偏导数的概念 ,偏导数的几何意义,偏导数与连续性;全微分概念;连续性与可微性,偏导数与可微性;

    2、多元复合函数微分法及求导公式;

    3、方向导数与梯度;

    4、泰勒定理与极值。

    (三)考核要求

    1、熟练掌握可微,偏导,可微的意义;

    2、掌握二元函数可微,连续以及偏导函数连续等概念之间的关系;

    3、会计算各种类型函数的偏导,函数的全微分;

    4、会求空间曲面的切平面,法线;

    5、会求函数的方向导数;

    6、会求二元函数的无条件极值。 

    第十三章  隐函数定理及其应用

    (一)考核内容

    隐函数概念,隐函数存在性条件的分析,隐函数(存在惟一性、可微性)定理,隐函数求导。隐函数组概念,函数行列式,隐函数组定理,隐函数组求导,反函数组与坐标变换。几何应用。条件极值与拉格朗日乘数法。

    (二)考核知识点

    1、隐函数:隐函数的概念,隐函数的定理,隐函数求导举例;

    2、隐函数组:隐函数组存在定理,反函数组与坐标变换,雅可比行列式;

    3、几何应用:平面曲线的切线与法线,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面和法线;条件极值:条件极值的概念,条件极值的必要条件。

    (三)考核要求

    1、掌握一个方程确定的隐函数的条件,隐函数性质,隐函数的导数(偏导)公式;

    2、会求空间曲线的切线与法平面;

    3、会求曲面的切平面与法线;

    4、掌握条件极值的拉格朗日乘数法。

    第十四章  重积分

    (一)考核内容

    平面图形的面积,二重积分的定义及其存在性,二重积分性质。直角坐标系下二重积分的计算(化为累计积分)。格林公式,平面曲线积分与路线无关的等价条件,原函数。二重积分的变量替换公式,用极坐标计算二重积分。三重积分的概念与性质,化三重积分为累次积分,三重积分的换元法,柱坐标变换与球坐标变换。重积分在的应用:曲面的面积。

    (二)考核知识点

    1、二重积分概念:二重积分的概念,可积条件,可积函数,二重积分的性质;

    2、二重积分的计算:化二重积分为累次积分,换元法(极坐标变换,一般变换);

    3、含参变量的积分;

    4、三重积分计算:化三重积分为累次积分, 换元法(一般变换,柱面坐标变换,球坐标变换);

    5、重积分应用:立体体积,曲面的面积,物体的重心,转动惯量;

    6、含参量非正常积分概念及其一致敛性:含参变量非正常积分及其一致收敛性概念,一致收敛的判别法(柯西准则,与函数项级数一致收敛性的关系,一致收敛的判别法),含参变量非正常积分的分析性质。

    (三)考核要求

    1、了解二重积分,三重积分的定义与性质;

    2、掌握二重积分的换序,变量代换;

    3、了解三重积分的换序,会用球、柱、广义球坐标进行代换计算三重积分;

    4、了解含参量正常积分的定义及性质。

    第十五章  曲线积分与曲面积分

    (一)考核内容

    第一型曲线积分的定义与计算。第二型曲线积分的定义和计算,两类曲线积分的联系。第一型曲面积分概念、性质和计算。曲面的侧,第二型面积分概念、性质和计算,两类曲面积分之间的联系。高斯公式,斯托克斯公式,空间曲线积分与路线无关的等价条件。

    (二)考核知识点

    1、第一型曲线积分的概念、性质与计算,第一型曲面积分的的概念、性质与计算;

    2、第二型曲线积分的概念、性质与计算,变力作功,两类曲线积分的联系;

    3、格林公式,曲线积分与路线的无关性, 全函数;

    4、曲面的侧,第二型曲面积分概念及性质与计算,两类曲面积分的关系;

    5、高斯公式,斯托克斯公式,空间曲线积分与路径无关性;

    (三)考核要求

    1、熟练掌握第一、二型曲线、曲面积分的计算方法;

    2、了解两种曲线积分,两种曲面积分关系;

    3、熟练运用格林公式,高斯公式,斯托克斯公式的计算;

    4、掌握积分与路径无关的条件。


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