2020年黄冈师范学院专升本数学与应用数学专业《专业综合》考试大纲

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九、数学与应用数学专业《专业综合》考试大纲

课程一：《高等代数》考试大纲（总分75分）

一、考核目标

高等代数是是数学与应用数学专业的一门专业必修课，属基础主干课程、也是学位课程，是学习其它数学学科和其它现代科学学科的必备基础。与数学分析、空间解析几何一起，组成数学必需的基本知识以及研究方法，是学习泛函分析、近世代数、初等数论等后继课程的学习基础。高等代数是中学代数的继续和提高，对于中学数学教学工作具有重要的理论指导作用。通过本课程的学习，使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法。

二、参考教材

北京大学数学系几何与代数教研室编，高等代数，高等教育出版社，2013年8月第4版。

三、试题类型

选择题、填空题、计算题、证明题。

四、考试的内容及基本要求

第二章  行列式

考试内容：

1．n级排列、逆序数、偶（奇）排列、对换、排列的奇偶性；

2．一般行列式的定义、n级行列式的性质；

3．行列式的变换、行列式计算；

4．行列式按一行展开的性质、展开性质的应用；

5．Cramer法则、Laplace 定理、行列式乘法法则；

基本要求：

1．掌握n阶行列式的概念与性质；

2．学会用行列式的性质熟练地计算行列式；

3．掌握克莱姆法则及拉普拉斯定理。

第三章  线性方程组

考试内容：

1．消元法、方程组的初等变换、方程组的有解判别；

2．n维向量概念、n维向量的运算、线性组合、向量组等价、线性相关（无关）、线性相关性的判定、极大线性无关组及向量组的秩；

3．矩阵秩的求法；

4．线性方程组有解判定定理、线性方程组解的求法、齐次线性方程组解的结构、一般线性方程组解的结构、线性方程组解的几何意义；

5．两个多项式的结式、二元高次方程组的解法。

基本要求：

1．理解消元法与矩阵初等变换的关系，能熟练地运用消元法求解一般的线性方程组；

2．正确理解和掌握矩阵的秩的概念，能熟练地运用矩阵的初等变换求矩阵的秩；

3．掌握线性方程组有解的判定定理及其应用；

4．能熟练地求齐次线性方程组的基础解系；

5．掌握一般线性方程组在有解的情况下解的结构；

6．掌握n个未知量n个方程的齐次线性方程组存在非零解的充要条件。

第四章  矩阵

考试内容：

1．矩阵的概念、矩阵的运算、矩阵乘积的行列式与秩；

2．可逆矩阵、可逆矩阵的性质、可逆矩阵的两个应用；

3．矩阵的分块、分块矩阵的乘积、分块矩阵的应用；

4．逆矩阵的求法、分块乘法的初等变换。

基本要求：

1．掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置及其运算规律，并能熟练地运用；

2．掌握矩阵可逆的概念及其判定方法；

3．熟悉和掌握矩阵乘积的行列式及其秩的定理；

4．掌握初等矩阵的概念、初等矩阵与初等变换的关系以及用初等变换求逆矩阵的方法。

课程二：《数学分析》考试大纲（总分75分）

一、考核目标

通过本课程的教学，使学生掌握数学分析的基本内容和方法，为后续课程打下良好的基础；为培养学生的严谨的数学思维能力和探索能力提供必要的训练；深入地理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握典型的分析方法，使学生初步具备应用数学方法分析问题和解决问题的能力。

二、参考教材

华东师范大学数学系编，数学分析（上），高等教育出版社，2010年7月第4版。

三、试题类型

选择题、填空题、计算题、证明题。

四、考试的内容及基本要求

第1章  实数集与函数

考试内容：

1．实数分类、实数的性质（对四则运算的封闭性、有序性、阿基米德性、稠密性）、绝对值与不等式；

2．区间、邻域、数集、确界原理；

3．函数表示法、函数四则运算、复合函数、反函数、初等函数；

4．有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数。

基本要求：

1．熟练掌握实数域及性质；

2．掌握几个常用的不等式；

3．熟练掌握邻域、上确界、下确界以及确界原理；

4．牢固掌握函数的复合法则、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。

第2章  数列极限

考试内容：

1．数列极限的“”定义及其几何意义、无穷小数列；

2．收敛数列的唯一性、有界性、保号性、不等式性、迫敛性、四则运算法则；

3．单调有界定理、柯西收敛准则。

基本要求：

1．熟练掌握数列极限“”定义；

2．掌握收敛数列的若干性质；

3．掌握数列收敛的条件（单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等）。

第3章  函数极限

考试内容：

1．函数极限概念的“”、“”定义，单侧极限及其与极限的关系；

2．函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算法则；

3．函数极限的单调有界定理、归结原则、柯西准则；

4．掌握两个重要的极限；

5．无穷小量和无穷大量的比较。

基本要求：

1．熟练掌握使用函数极限“”“”的概念；

2．掌握函数极限的若干性质；

3．掌握函数极限存在的条件（归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界等）；

4．熟练应用两个两个重要的极限；

5．能掌握无穷小（大）的定义、性质、阶的比较。

第4章  函数的连续性

考试内容：

1．函数在一点连续（左、右连续）及间断点的概念、间断点的分类；

2．连续函数的局部有界性、局部保号性，连续函数的四则运算及复合函数的连续性；

3．闭区间上连续函数的最值性、介值性、根的存在性定理，反函数的连续性、初等函数的连续性、一致连续性。

基本要求：

1．熟练掌握在点连续的定义和等价定义；

2．熟练掌握间断点及其分类；

3．熟练掌握在一点连续性质及在区间上连续性质；

4．熟练掌握初等函数的连续性。

第5章  导数和微分

考试内容：

1．平面曲线切线与瞬时速问题度、导数定义、单侧导数、导数的几何意义、导函数；

2．导数的四则运算、反函数的导数、复合函数的导数；

3．微分的概念、微分的四则运算、一阶微分形式不变性、近似计算与误差估计；

4．高阶导数与高阶微分、参数方程和隐函数求导法。

基本要求：

1．熟练掌握导数的定义，几何、物理意义；

2．掌握并熟练应用求导法则、求导公式；

3．会求各类函数的导数（复合、参量、隐函数、幂指函数、高阶导数（莱布尼兹公式）；

4．掌握微分的概念，并会用微分进行近似计算；

5．掌握一元函数连续、可导、可微之间的关系。

第6章  微分中值定理及应用

考试内容：

1．费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2．型不定式极限、型不定式极限、其它类型不定式极限；

3．函数的单调性与极值；

4．函数的凸凹性与拐点；

5．函数图象的讨论。

基本要求：

1．牢固掌握微分中值定理并会灵活应用；

2．会用洛比达法则求极限，会将其他类型的不定型转化为和型；

3．掌握单调与符号的关系，并用它证明单调，不等式、求单调区间、极值等；

4．掌握凸函数概念及性质，利用判定凹凸性及拐点；

5．能通过一定的计算进行函数图象的讨论。

第7章  实数的完备性

考试内容：

确界原理、闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、致密性定理、有限覆盖定理、单调有界定理。

基本要求：

1．了解下列基本概念：区间套、聚点、覆盖与有限覆盖、子列的概念；

2．了解实数完备性的六个等价定理的结论。

第8章  不定积分

考试内容：

1．原函数、不定积分、基本积分表、不定积分的线性运算法则。

2．第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法；

3．有理函数的积分、三角函数有理式的积分、某些简单无理函数的积分。

基本要求：

1．掌握原函数与不定积分的概念，记住基本积分公式；

2．熟练掌握换元积分法、分部积分法；

3．熟练掌握有理函数积分步骤，并会求可化为有理函数的积分。

第9章  定积分

考试内容：

1．定积分的定义、函数的可积条件（必要条件，可积准则，可积函数类（三个充分条件））；

2．定积分的线性性质、区间的可加性、单调性、绝对可积性等性质，积分中值定理；

3．变上限积分函数概念与性质，牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法。

基本要求：

1．掌握定积分定义、性质、可积条件，会利用定义进行一些数列极限的计算

2．熟练掌握微积分基本定理、积分中值定量，并会加以应用；

3．会熟练计算定积分；

4．掌握定积分的变换及其一定的应用。

第10章  定积分应用

考试内容：

1．平面图形的面积、函数的平均值；

2．由截面面积求立体体积、旋转体体积；

3．曲线的弧长；

4．旋转曲面的面积；

5．微元法思想及应用。

基本要求：

1．要求能熟练计算各种平面图形面积；

2．会由截面面积求立体体积，以及旋转体的体积；

3．会利用定积分求孤长、旋转体的侧面积；

4．微元法思想及应用。

 

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