《高等数学》(一)第一章同步辅导/训练2 -自考串讲笔记

　　13设函数f （x ）=1， |x|≤1

　　-1， |x|>1 ，则f1 f（x ）= 「」

　　A 1B-1

　　C f （x ）D 1 f （x ）

　　「答案」选A 

　　「解析」因|f（x ）|=1 ，1 f （x ）=1，故f1 f（x ）=1

　　14设f （x ）=|x| x，g （x ）=x2 ，则f ［g （x ）］= 「」

　　A ±1B1

　　C 1 xD|x| x2

　　「答案」选B 

　　「解析」f ［g （x ）］=f（x2）=|x2| x2=x2 x2=1

　　15设f （x ）= 2｜x ｜≤2

　　1｜x ｜>2，则f （f （x ））= 「」

　　A 2B1Cf （x ）D （f （x ））2

　　「答案」选A 

　　「解析」由假设f （f （x ））= 2｜f （x ）｜≤2

　　1 ｜f （x ）｜>2，

　　对任意x ∈（－∞，＋∞），｜f （x ）｜≤2 ，故有f （f （x ））=2.

　　16设f （1-2x）=1- 2 x，则f （x ）= 「」

　　A 1+4 1-xB 1-4 1-x

　　C 1-2 1-2xD1+2 1-2x

　　「答案」选B 

　　「解析」令1-2x=t，x=1-t 2，由f （1-2x）=1- 2 x得

　　f （t ）=1- 21-t2=1- 4〖〗1-t ，故f （x ）=1- 4 1-x

　　17设f （sinx2）=1+cosx ，则f （cosx2）= 「」

　　A 1-cosxB -cosx

　　C 1+cosxD 1-sinx

　　「答案」选A 

　　「解析」f （sinx2）=1+1-2sin2x 2=2-2sin 2x 2，所以

　　f （x ）=2-2x2.

　　从而f （cosx2）=2-2cos 2x 2＝2-（1+cosx）=1-cosx.

　　18设f （x+2 ）=x2-2x+3，则f ［f （2 ）］= 「」

　　A 3 B 0

　　C 1 D 2

　　「答案」选D 

　　「解析」因f （2 ）=f（0+2 ）=02-2 ×0+3=3 ，

　　故f ［f （2 ）］=f（3 ）=f（1+2 ）=12-2 ×1+3=2 

　　「另解」因为f （x+2 ）=x2-2x+3= ［（x+2 ）-2］2-2 ［（x+2 ）-2］+3，

　　故f （x ）= （x-2 ）2-2 （x-2 ）+3=x2-6x+11 ，f （2 ）=3

　　从而f ［f （2 ）］=f（3 ）=32-6 ×3+11=2

　　19设g （x ）=lnx+1，f ［g （x ）］=x，则f （1 ）= 「」

　　A 1 B e

　　C -1 D-e

　　「答案」选A 「解析」由lnx+1=1 ，得lnx=0 ，x=1 ，故f （1 ）= f ［g （1 ）］=1

　　20下列各组函数中，表示相同函数的是「」

　　A y=lnx2与y=2lnx

　　B y=x 与y=x2

　　C y=1 与y=sin2x+cos2x

　　D y=x 与y=cos （arccosx ）

　　「答案」选C 

　　「解析」A 中两函数的定义域不同，B 中两函数的对应规则不同，D 中两函数的定义域与对应规则都不同只有C 中两函数的定义域与对应规则完全相同

　　21函数y=log4x+log42 的反函数是「」

　　A y=42x-1By=4x-1

　　C y=2x-1D y=4x-1

　　「答案」选A 

　　「解析」由y=log4x+log 42=log42x 得2x=4y，

　　故x=42y-1 ，即所求函数的反函数是y=42x-1.

　　22设－12

　　A y=1－10x ，（－∞，0）

　　B y=- 1－10x ，（－∞，0）

　　C y=1－10x ，（lg34，0）

　　D y=- 1－10x ，（lg34，0）

　　「答案」选D 

　　「解析」由y=lg（1+x ）+lg （1-x ）=lg （1-x 2）得

　　1-x2=10y

　　因为当x ∈（- 12，0）时，y ∈（lg34，0），所以

　　x=- 1－10y

　　故所求反函数为y=- 1－10x ，（lg34，0）

　　23设f （x ）=x-1 x+1，则f-1 （12）= 「」

　　A 12B 1C 2D 3「答案」选D 

　　「解析」设f-1 （12）=l，则f （l ）= 12即

　　l-1 l+1=12，解得l=3

　　24设f （x ）=lnx，且函数φ（x ）的反函数φ-1（x ）=2（x+1 ） x-1，则f ［φ（x ）

　　］= 「」

　　A lnx-2 x+2Blnx+2 x-2

　　C ln2-x x+2Dlnx+2 2-x

　　「答案」选B 

　　「解析」令y=φ-1（x ），则y=2 （x+1 ） x-1，得x=y+2 y-2 ，即φ（x ）=x+2 x-2，故f［φ（x ）］=lnx+2 x-2

　　25下列函数中，其反函数在（- ∞，+ ∞）上有定义的是「」

　　A y=x3B y=1 x

　　C y=exD y=sinx

　　「答案」选A 

　　「解析」B 、C 、D 中的函数的反函数依次为y=1 x ，y=lnx ，y=arcsinx ，它们的定义域依次为（- ∞，0 ）∪（0 ，+ ∞）、（0 ，+ ∞）、［-1，1 ］，只有A 的反函数为y=3 x ，其定义域为（- ∞，+ ∞）

　　26y=3x 2+3x 的反函数是「」

　　A y=3-x 3-x+2By=2+3x 3x

　　C y=log32x 1-xD y=log31-x 2x

　　「答案」选C 

　　「解析」由y=3x 2+3x ，得2y+y.3x=3x，2y=3x （1-y ），3x=2y 1-y ，x=log32y 1-y，

　　故所求反函数为y=log32x 1-x