2007年10月自考试题实变函数与泛函分析初步试卷

湖北自考网来源：时间：2008-11-09 15:25:15

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浙江省2007年10月高等教育自学考试
实变函数与泛函分析初步试题
课程代码：10023
一、单项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.已知Z和Q分别为整数集和有理数集，记A=［0，1］-Q，则( )
A B.
C. D.
2.若A=［0,1］-{，…},B=［2,3］∩Q,C=［5,6］-Q,则A∪B∪C的测度为( )
A.1 B.2
C.3 D.无意义
3.设f(x)=∩Q,则f(x)dx=( )
A.0 B.1
C.2 D.8
二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。
4.集列的上限集与下限集一定不相等.( )
5.开集一定是博雷尔（Borel）集.( )
6.设ER1，是E的闭包，mE=0，则m()=0.( )
7.设f(x)在［0，1］的一个稠密集上处处不连续，则f(x)一定不是Riemann可积函数.( )
8.定义在零测集上的函数一定是可测函数.( )
9.定义在区间上的单调函数的导数几乎处处存在.( )
三、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
10.设A2n-1=(0,sin)，A2n=(,n),则集列{An}的上限集为___________.
11.球面S2={（x,y,z)|x2+y2+z2=1}的基数为___________.
12.设F={(x,y)|x2+y2≤1},E=F∪，则E的开核=___________.
13.记E为康托集和有理数集的并集，则mE=___________.
14.设函数f(x)在［0，1］上单调，E是f(x)的连续点全体，则mE=___________.
15.f(x)是可测集E上的简单函数是指___________.
16.函数f(x)在区间［a,b］上的黎曼可积的充要条件是___________.
17.f(x)与g(x)在E上几乎处处相等是指___________.
18.举一个函数列{fn(x)}的例子，使得{fn(x)}在［0,∞)上处处收敛于0，但{fn(x)}在［0,∞)上不依测度收敛于0，例如fn(x)=___________.
19.区间［a,b］上的函数F(x)是f(x)的一个不定积分是指___________________________
_____________________________.
四、完成下列各题(本大题共4小题，每小题9分，共36分)
20.设f(x)是(-∞,+∞)上的实值连续函数，证明对于任意常数a,E={x|f(x)>a}是开集，而F={x|f(x)≥a}总是闭集.
21.设E是［0,1］中的不可测集，令f(x)，问f(x)和|f(x)|在［0,1］上是否可测？为什么？
22.设f(x)在E上可积分，记en=E［|f|≥n］，证明.
23.问函数f(x)=在［0,1］上是不是有界变差函数？为什么？

......
......

结束

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