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2015年湖北考研高等数学知识点讲解:集合的概念

来源:湖北自考网 时间:2014-07-04 11:39:52


湖北2015年考研高等数学知识点讲解:集合的概念


  
集合的概念

  一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。

  我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:aA。

  
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N

  
⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。

  
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。

  
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。

  ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。


  集合的表示方法

  
⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合

  
⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。


  集合间的基本关系

  
⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。。

  
⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。

  
⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。

  
⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作 ,并规定,空集是任何集合的子集。

  ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论:

  
①、任何一个集合是它本身的子集。即A A

  
②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。

  
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。


  集合的基本运算

  
⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。)

  即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。

  
⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。

  即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。

  
⑶、补集:

  
①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。

  
②补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集,记作CUA。

  即CUA={x|x∈U,且x A}。


  集合中元素的个数

  
⑴、有限集:我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做无限集。

  
⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A={a,b,c},则card(A)=3。

  
⑶、一般地,对任意两个集合A、B,有

  card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)

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  • 结束
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    2015年湖北考研高等数学知识点讲解:集合的概念
    来源:湖北自考网 时间:2014-07-04 11:39:52


    湖北2015年考研高等数学知识点讲解:集合的概念


      
    集合的概念

      一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。

      我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:aA。

      
    ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N

      
    ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。

      
    ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。

      
    ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。

      ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。


      集合的表示方法

      
    ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合

      
    ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。


      集合间的基本关系

      
    ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。。

      
    ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。

      
    ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。

      
    ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作 ,并规定,空集是任何集合的子集。

      ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论:

      
    ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A

      
    ②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。

      
    ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。


      集合的基本运算

      
    ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。)

      即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。

      
    ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。

      即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。

      
    ⑶、补集:

      
    ①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。

      
    ②补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集,记作CUA。

      即CUA={x|x∈U,且x A}。


      集合中元素的个数

      
    ⑴、有限集:我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做无限集。

      
    ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A={a,b,c},则card(A)=3。

      
    ⑶、一般地,对任意两个集合A、B,有

      card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)

    结束
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