实变函数与泛函分析初步历年试卷自考浙江2007年1月
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浙江省2007年1月高等教育自学考试
实变函数与泛函分析初步试题
课程代码：10023
一、单项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.可数个可数集的交集是（ ）
A.空集 B.有限集
C.可数集 D.无法判定的
2.设E=［0，2］－（Q∩［1,3］），则mE=（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
3.设P是Cantor集，则（ ）
A.P与Rn对等，且P的测度为0 B.P与Rn对等，且P的测度为1
C.P与Rn不对等，P的测度为0 D.P与Rn不对等，P的测度为1
二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“?”。
4.有理数集与无理数集一定是对等的.（ ）
5.开集减去闭集后的差集一定是开集.（ ）
6.不可数点集的外测度一定大于零.（ ）
7.设f (x)在E上非负可积，en=E［f ≥n］，则.（ ）
8.若f (x)在区间［0,1］上几乎处处可导，则f (x)在区间［0,1］上几乎处处有界.（ ）
9.函数f (x)= 不是［0,1］上的有界变差函数.（ ）
三、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
10.设集列{An}两两不相交，则集列{An}的上限集为________________.
11.设An=(-,2-］，则________________.
12.若E与它的真子集对等，则E一定是无限集吗？（只需填“是”或“否”即可）
答：________________.
13.设E是［0，1］－Q和［3，7］∩Q的并集，则mE=________________.
14.函数f (x)在E上几乎处处有界是指________________.
15.设f (x)是可测集E上的函数，若δ>0，必有闭子集EδE，使f (x)是Eδ上的连续函数，且m(E-Eδ)<δ，则f (x)是E上的________________.
16.设{f n(x)}是E上的非负可测函数列，且fn (x)≤fn+1(x)（n），则与一定相等吗？（只需填“一定”或“不一定”即可）答：________________.
17.构造［0,1］上的一个函数f (x)，使得f (x)在［0,1］上Lesbegue可测，但不是Lesbegue可积.例如f (x)=________________.
18.设f (x)=，则=________________.
19.函数f (x)= 在［0，1］上的全变差为________________.
四、完成下列各题(本大题共4小题，每小题9分，共36分)
20.构造一个一一映射f:［0，1］→(0,1).
21.设I为全体无理数所成之集，令E=｛(x,y)|y=sin, x∈I｝，求E′，，.
22.证明可数点集的外测度为零.
23.利用，求证ln2=1-+-+….
......
浙江省2007年1月高等教育自学考试
实变函数与泛函分析初步试题
课程代码：10023
一、单项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.可数个可数集的交集是（ ）
A.空集 B.有限集
C.可数集 D.无法判定的
2.设E=［0，2］－（Q∩［1,3］），则mE=（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
3.设P是Cantor集，则（ ）
A.P与Rn对等，且P的测度为0 B.P与Rn对等，且P的测度为1
C.P与Rn不对等，P的测度为0 D.P与Rn不对等，P的测度为1
二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“?”。
4.有理数集与无理数集一定是对等的.（ ）
5.开集减去闭集后的差集一定是开集.（ ）
6.不可数点集的外测度一定大于零.（ ）
7.设f (x)在E上非负可积，en=E［f ≥n］，则.（ ）
8.若f (x)在区间［0,1］上几乎处处可导，则f (x)在区间［0,1］上几乎处处有界.（ ）
9.函数f (x)= 不是［0,1］上的有界变差函数.（ ）
三、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
10.设集列{An}两两不相交，则集列{An}的上限集为________________.
11.设An=(-,2-］，则________________.
12.若E与它的真子集对等，则E一定是无限集吗？（只需填“是”或“否”即可）
答：________________.
13.设E是［0，1］－Q和［3，7］∩Q的并集，则mE=________________.
14.函数f (x)在E上几乎处处有界是指________________.
15.设f (x)是可测集E上的函数，若δ>0，必有闭子集EδE，使f (x)是Eδ上的连续函数，且m(E-Eδ)<δ，则f (x)是E上的________________.
16.设{f n(x)}是E上的非负可测函数列，且fn (x)≤fn+1(x)（n），则与一定相等吗？（只需填“一定”或“不一定”即可）答：________________.
17.构造［0,1］上的一个函数f (x)，使得f (x)在［0,1］上Lesbegue可测，但不是Lesbegue可积.例如f (x)=________________.
18.设f (x)=，则=________________.
19.函数f (x)= 在［0，1］上的全变差为________________.
四、完成下列各题(本大题共4小题，每小题9分，共36分)
20.构造一个一一映射f:［0，1］→(0,1).
21.设I为全体无理数所成之集，令E=｛(x,y)|y=sin, x∈I｝，求E′，，.
22.证明可数点集的外测度为零.
23.利用，求证ln2=1-+-+….
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结束
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